История

Теорема Пифагора: путь истины

Теорема Пифагора: путь истины


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Пифагор (569–475 гг. До н.э.) признан первым математиком в мире. Он родился на острове Самос и, как считалось, учился у Фалеса и Анаксимандра (признанных первыми западными философами). Пифагор считал, что числа - это не только путь к истине, но и сама истина. С помощью математики можно достичь гармонии и жить более легкой жизнью. Говорят, что с этой целью он предложил ряд математических теорем, но из всех них осталась только знаменитая теорема Пифагора (Allen, 1966).

Историк Робинсон пишет: «Утверждение о том, что« Пифагор очень много работал над арифметической стороной геометрии », дополнительно подтверждается традицией, согласно которой он исследовал арифметическую проблему поиска треугольников, у которых квадрат на одной стороне равен сумме квадратов. на двух других »и сделал это на раннем этапе, используя камни в ряды, чтобы понять истину, которую он пытался передать (1968). Теорема Пифагора утверждает, что a² + b² = c². Это используется, когда нам дается треугольник, в котором мы знаем длину только двух из трех сторон. C - самая длинная сторона угла, известная как гипотенуза. Если a - прилегающий угол, то b - противоположная сторона. Если b - прилегающий угол, то a - противоположная сторона. Если a = 3 и b = 4, мы могли бы найти c. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. Это одно из основных применений теоремы Пифагора.

Существует множество доказательств теоремы Пифагора, наиболее известным из которых является доказательство Евклида из книги I его книги. Элементы.

Предложение: В прямоугольных треугольниках квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов на катетах.

Евклид начал с пифагорейской конфигурации, а затем провел линию через диаграмму, иллюстрирующую равенство площадей. Он пришел к выводу, что AB / AC = AC / HA, поэтому (AC) ² = (HA) (AB). Поскольку AB = AJ, площадь прямоугольника HAJG соответствует площади квадрата на стороне AC. Точно так же AB / BC = BC / BH также записывается как (BC) ² = (BH) (AB) = (BH) (BD) и так как AB = BD. Таким образом, мы видим, что сумма площадей прямоугольников равна площади квадрата на гипотенузе. По словам Стефани Моррис, «это завершает доказательство» (Morris, 2011).

Другое доказательство, которое легче понять людям, начинается с прямоугольника, разделенного на три треугольника, все с прямыми углами.

Треугольник BEA и треугольник BCE перекрывают треугольник ACD. Сравнивая треугольник BCE и треугольник ACD и глядя на их соответствующие стороны, мы видим, что AC / BC = AD / EC. Поскольку AD = BC, AC / AD = AD / EC. Путем умножения это уравнение представляет собой (AD) ² = (AC) (AE). Из треугольников ABC и ABE, отмечая, что AB = CD, сравнивая прямые углы этих двух фигур, мы выводим уравнение AC / AB = CD / AE. Исходя из исходной формы прямоугольника, у нас было AB = CD, также заданное как AC / CD = CD / AE, которое записывается как задача умножения как (CD) ² = (AC) (AE), и добавляя уравнения, которые у нас есть до сих пор, мы получаем две новые формулы: (CD) ² + (AD) ² = (AC) (AE) + (AC) (EC) и (CD) ² + (AD) ² = (AC) (AE + EC). Поскольку AC = AE + EC, получаем (CD) ² + (AD) ² = (AC) ². Как и в предыдущем доказательстве, это показывает справедливость теоремы Пифагора (Morris, 2011).

В теореме Пифагора каждая сторона / угол является важной частью информации, которая помогает нам определять другие углы / стороны. Пифагор верил в объективную истину, которой было число. Теорема Пифагора позволяет узнать истину через математические уравнения, приведенные выше, что означает, что действительно существует объективная истина, вне всякого личного мнения, которая может быть фактически доказана; и это, наконец, то, что Пифагор хотел доказать своей работой.

Люблю историю?

Подпишитесь на нашу бесплатную еженедельную рассылку новостей по электронной почте!


Теорема Пифагора: путь истины - история

Это эссе было вдохновлено уроком, который я хожу в этом квартале. Класс - История математики. В этом классе мы учимся включать историю математики в преподавание математики. Один из способов включить историю математики в свой класс - включить древние математические задачи в свое обучение. Другой способ - представить новую тему с некоторой историей темы. Надеюсь, это эссе даст вам некоторые идеи о том, как включить историю теоремы Пифагора в ее преподавание и изучение.

Мы обсуждали разные темы, которые были разработаны в древних цивилизациях. Теорема Пифагора - одна из таких тем. Эта теорема - одна из самых ранних теорем, известных древним цивилизациям. Он был назван в честь Пифагора, греческого математика и философа. Теорема носит его имя, хотя у нас есть доказательства того, что вавилоняне знали об этой связи около 1000 лет назад. Плимптон 322, вавилонская математическая табличка, датированная 1900 годом до нашей эры, содержит таблицу пифагорейских троек. Древний китайский текст Chou-pei также свидетельствует о том, что китайцы знали о теореме Пифагора за много лет до того, как Пифагор или один из его коллег по пифагорейскому обществу открыл и доказал ее. По этой причине теорема названа в честь Пифагора.

Пифагор жил в шестом или пятом веке до нашей эры. Он основал пифагорейскую школу в Кротоне. Эта школа была академией по изучению математики, философии и естествознания. Школа Пифагора была чем-то большим, чем просто школой - это было тесно связанное братство с тайными обрядами и ритуалами »(Ева 75). Из-за этого школа была разрушена демократическими силами Италии. Хотя братство было разрозненным, оно просуществовало еще два столетия. Пифагору и его коллегам приписывают большой вклад в математику.

Ниже приводится исследование того, как теорема Пифагора доказывалась на протяжении многих лет.

«Квадрат на гипотенузе прямоугольного треугольника равен сумме квадратов на двух катетах» (Евы 80-81).


Эта теорема говорит о площади квадратов, построенных с каждой стороны прямоугольного треугольника.

Соответственно, мы получаем следующие площади для квадратов, где зеленый и синий квадраты находятся на катетах прямоугольного треугольника, а красный квадрат - на гипотенузе.

площадь зеленого квадрата составляет
площадь синего квадрата составляет
площадь красной площади составляет

Из нашей теоремы имеем следующее соотношение:

площадь зеленого квадрата + площадь синего квадрата = площадь красного квадрата или

Как я уже говорил ранее, эта теорема была названа в честь Пифагора, потому что он был первым, кто ее доказал. Вероятно, при доказательстве этой теоремы он использовал доказательство типа рассечения, подобное следующему.

«Пусть a, b, c обозначают катеты и гипотенузу данного прямоугольного треугольника, и рассмотрим два квадрата на прилагаемом рисунке, каждый из которых имеет стороны a + b. Первый квадрат делится на шесть частей, а именно на два квадрата на ногах и четыре прямоугольных треугольника, соответствующих данному треугольнику. Второй квадрат делится на пять частей: квадрат на гипотенузе и четыре прямоугольных треугольника, соответствующих данному треугольнику. Вычитая «равное» из «равного», теперь следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов на катетах »(Eves 81).

Рассмотрим следующий рисунок.

Площадь первого квадрата равна (a + b) ^ 2 или 4 (1 / 2ab) + a ^ 2 + b ^ 2.
Площадь второго квадрата равна (a + b) ^ 2 или 4 (1 / 2ab) + c ^ 2.
Поскольку квадраты имеют равные площади, мы можем установить их равными другому и вычесть равные. Случай (a + b) ^ 2 = (a + b) ^ 2 не интересен. Сделаем другой случай.
4 (1 / 2ab) + a ^ 2 + b ^ 2 = 4 (1 / 2ab) + c ^ 2
Вычитая из обеих сторон равные, получаем

завершение доказательства Пифагора.
На протяжении многих лет было много математиков и нематематиков, которые дали различные доказательства теоремы Пифагора. Ниже приведены доказательства от Бхаскары и одного из наших бывших президентов, президента Джеймса Гарфилда. Я выбрал эти доказательства, потому что любое из них можно было бы использовать в любом классе.

Первое доказательство Бхаскары

Доказательство Бхаскары также является доказательством вскрытия. Это похоже на доказательство Пифагора. Бхаскара родился в Индии. Он был одним из самых важных индуистских математиков второго века нашей эры. Он использовал следующие диаграммы при доказательстве теоремы Пифагора.

На приведенных выше диаграммах все синие треугольники совпадают, а желтые квадраты совпадают. Для начала нам нужно двумя разными способами найти площадь большого квадрата. Сначала давайте найдем площадь, используя формулу площади для квадрата.
Таким образом, A = c ^ 2.
Теперь давайте найдем площадь, найдя площадь каждого из компонентов, а затем просуммируем площади.
Площадь синих треугольников = 4 (1/2) ab
Площадь желтого квадрата = (b-a) ^ 2
Площадь большого квадрата = 4 (1/2) ab + (b-a) ^ 2
= 2ab + b ^ 2 - 2ab + a ^ 2
= Ь ^ 2 + а ^ 2

Поскольку квадрат имеет одинаковую площадь, независимо от того, как вы его найдете.
А = с ^ 2 = а ^ 2 + Ь ^ 2,
завершая доказательство.


Второе доказательство теоремы Пифагора Бхаскара

В этом доказательстве Бхаскара начал с прямоугольного треугольника, а затем нарисовал высоту по гипотенузе. Отсюда он использовал свойства подобия для доказательства теоремы.

Теперь докажите, что треугольники ABC и CBE подобны.
Из постулата АА следует, что треугольник ABC подобен треугольнику CBE, поскольку угол B конгруэнтен углу B, а угол C конгруэнтен углу E. Таким образом, поскольку внутренние отношения равны s / a = a / c.
Умножая обе стороны на ac, получаем
СК = а ^ 2.

Теперь покажем, что треугольники ABC и ACE подобны.
Как и прежде, из постулата АА следует, что эти два треугольника подобны. Угол A конгруэнтен углу A, а угол C конгруэнтен углу E. Таким образом, r / b = b / c. Умножая обе части на bc, получаем
rc = Ь ^ 2.

Теперь, когда мы складываем два результата, получаем
сбн + rc = а ^ 2 + Ь ^ 2.
с (с + г) = а ^ 2 + Ь ^ 2
с ^ 2 = а ^ 2 + Ь ^ 2,
завершая доказательство теоремы Пифагора.

Доказательство Гарфилда

Двадцатый президент Соединенных Штатов дал следующее доказательство теоремы Пифагора. Он обнаружил это доказательство за пять лет до того, как стал президентом. Он натолкнулся на это доказательство в 1876 году во время математической дискуссии с некоторыми членами Конгресса. Позже он был опубликован в New England Journal of Education. Доказательство зависит от вычисления площади правой трапеции двумя разными способами. Первый способ - использовать формулу площади трапеции, а второй - суммировать площади трех прямоугольных треугольников, которые могут быть построены в трапеции. При разработке доказательства он использовал следующую трапецию.

Во-первых, нам нужно найти площадь трапеции, используя формулу площади трапеции.
A = (1/2) h (b1 + b2) площадь трапеции

На приведенной выше диаграмме h = a + b, b1 = a и b2 = b.

Теперь давайте найдем площадь трапеции, суммируя площади трех прямоугольных треугольников.
Площадь желтого треугольника равна
А = 1/2 (ба).

Площадь красного треугольника равна
А = 1/2 (с ^ 2).

Площадь синего треугольника равна
А = 1/2 (ab).

Сумма площадей треугольников равна
1/2 (ba) + 1/2 (c ^ 2) + 1/2 (ab) = 1/2 (ba + c ^ 2 + ab) = 1/2 (2ab + c ^ 2).

Поскольку эта площадь равна площади трапеции, имеем следующее соотношение:
(1/2) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) = (1/2) (2ab + c ^ 2).


Теорема Пифагора

Почему математика отличается (в хорошем смысле) от всех других предметов, которые вы изучали в школе?

Два слова: теорема Пифагора.

Позволь мне объяснить. Теорема Пифагора сама по себе не является причиной уникальности математики, это просто пример, который я хочу использовать, чтобы проиллюстрировать свою точку зрения. Я выбрал эту теорему в качестве примера, потому что, по моему опыту, это одна из немногих вещей, которые все помнят на уроках математики, независимо от того, насколько им нравится математика или насколько хорошо они успевают по курсу. Но на всякий случай P.T. вы ускользнули из головы, вот резюме:

Для любого прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы (сторона, противоположная прямому (90 градусов) углу) равен сумме квадратов двух других сторон.

Этот результат приписывается греческому математику и философу Пифагору (отсюда и творческое название теоремы). Пифагор жил между V и VI веками до нашей эры. и хотя в конечном итоге именно ему приписывают доказательство теоремы, есть свидетельства того, что результат теоремы был известен вавилонянам за 1000 лет до рождения Пифагора. Обратите внимание на этот старый планшет:

Вау, это старое. Здесь вы можете больше узнать о вавилонянах и теореме Пифагора.

Я хочу сказать, что в каком еще классе вы выполняете те же операции, что и люди 3000 лет назад? Конечно, на уроке истории вы узнаете о более ранних цивилизациях, но вас не учат, как делать история таким же образом, как и эти цивилизации. Точность, которой требует современная история, была в значительной степени неизвестна тем древним людям. Возможно, в литературе вы читали Гомера? Илиада а также ОдиссеяНо опять же, вас не учат писать в том же стиле эпической поэзии.

Так почему же тогда в классе математики, несмотря на то, что были достигнуты успехи и технологии, безусловно, прошли долгий путь, мы по-прежнему считаем полезным выполнять вычисления так, как они выполнялись тысячи лет назад?

Мой ответ: когда вы сталкиваетесь с истиной, нечего совершенствовать, ничего не улучшать. Настоящая правда.

Для всех нас, кто придерживается христианской веры в то, что Бог есть истина, все, что истинно, является фактом о Боге, а математика - это раздел богословия.

«Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть обнаружение рационального порядка и гармонии, которые были наложены на него Богом и которые Он открыл нам на языке математики».


Теорема Пифагора в вавилонской математике

В этой статье мы исследуем четыре вавилонских таблички, все из которых имеют некоторое отношение к теореме Пифагора. Конечно, вавилоняне были знакомы с теоремой Пифагора. Перевод вавилонской таблички, хранящейся в Британском музее, гласит:

Все таблички, которые мы хотим подробно рассмотреть, относятся примерно к одному и тому же периоду, а именно времен Древней Вавилонской Империи, которая процветала в Месопотамии между 1900 г. до н.э. и 1600 г. до н.э.


Вот карта области где процветала вавилонская цивилизация.


Статья «Вавилонская математика» дает некоторую предысторию того, как возникла цивилизация, и математические основы, которые они унаследовали.

Четыре планшета, которые нас здесь интересуют, мы будем называть Yale Tablet YBC 7289, Plimpton 322 (показано ниже), планшет Susa и планшет Tell Dhibayi. Давайте немного поговорим об этих таблицах, прежде чем описывать математику, которую они содержат.

Таблетка Йельского университета YBC 7289, которую мы описываем, является одной из большой коллекции табличек, хранящихся в Йельском вавилонском собрании Йельского университета. Он состоит из планшета, на котором отображается диаграмма. Диаграмма представляет собой квадрат со стороной 30 с начерченными диагоналями. Табличка и ее значение впервые обсуждались в [5], а недавно - в [18].


Плимптон 322 - это табличка под номером 322 из коллекции Г. А. Плимптона, хранящейся в Колумбийском университете.


На картинке видно, что верхний левый угол планшета поврежден, а в середине правой стороны планшета есть большой чип. Его дата точно не известна, но датируется периодом между 1800 и 1650 годами до нашей эры. Считается, что это только часть более крупной таблички, остаток которой был уничтожен, и поначалу считалось, что, как и многие другие таблички, запись коммерческих сделок. Однако в [5] Нойгебауэр и Закс дали новую интерпретацию, и с тех пор она вызывает огромный интерес.

Табличка из Суза была обнаружена в нынешнем городе Шуш в регионе Хузистан в Иране. Город находится примерно в 350 км от древнего города Вавилон. В. К. Лофтус определил это как важное археологическое место еще в 1850 году, но раскопки проводились гораздо позже. На интересующей нас табличке исследуется, как вычислить радиус круга через вершины равнобедренного треугольника.

Наконец, табличка Телль Дхибайи была одной из примерно 500 табличек, найденных археологами недалеко от Багдада в 1962 году. Большинство из них связаны с администрацией древнего города, который процветал во времена Ибалпиэля II из Эшунны и датируется примерно 1750 годом. Нас интересует конкретная табличка, относящаяся не к административным, а к геометрической задаче, требующей размеров прямоугольника, площадь и диагональ которого известны.

Прежде чем рассматривать математику, содержащуюся в этих четырех таблицах, мы должны немного сказать об их значении для понимания масштабов вавилонской математики. Во-первых, мы должны быть осторожны, чтобы не влезать в ранние математические идеи, которые мы можем ясно видеть сегодня, но никогда не приходили в голову автору. И наоборот, мы должны быть осторожны, чтобы не недооценивать значение математики только потому, что она была произведена математиками, которые мыслили совсем иначе, чем сегодняшние математики. В качестве последнего комментария к тому, что эти четыре таблички говорят нам о вавилонской математике, мы должны быть осторожны, чтобы понять, что почти все математические достижения вавилонян, даже если бы все они были записаны на глиняных табличках, были бы потеряны, и даже если бы эти четыре могут считаться особенно важными среди тех, кто выжил, они, возможно, не представляют лучших из вавилонской математики.

Нет проблем с пониманием того, что собой представляет планшет Yale YBC 7289.


Вот Схема Йельского планшета


На ней изображена диаграмма квадрата с 30 на одной стороне, диагонали нарисованы, а рядом с центром написано 1, 24, 51, 10 и 42, 25, 35. Конечно, эти числа записаны вавилонскими цифрами с основанием 60. См. Нашу статью о вавилонских числах. Теперь вавилонские числа всегда неоднозначны, и не происходит никаких указаний относительно того, где заканчивается целая часть и начинается дробная часть. Предполагая, что первое число - 1 24, 51, 10, преобразование его в десятичное число дает 1. 414212963, а √ 2 = 1. 414213562. Вычисление 30 × [1 24, 51, 10] дает 42 25, 35 - второе число. Диагональ квадрата со стороной 30 находится умножением 30 на приближение к √ 2.

Это показывает хорошее понимание теоремы Пифагора.Однако еще более важным является вопрос, как вавилоняне нашли это удивительно хорошее приближение к √ 2. Некоторые авторы, например, см. [2] и [4], предполагают, что вавилоняне использовали метод, эквивалентный методу Герона. Предполагается, что они начали с предположения, скажем, x x x. Затем они нашли e = x 2 - 2 e = x ^ <2> - 2 e = x 2 - 2, что является ошибкой. потом

Это, безусловно, возможно, и понимание квадратичности вавилонянами добавляет веса этому утверждению. Однако нет никаких доказательств того, что алгоритм использовался в каких-либо других случаях, и его использование здесь должно оставаться не более чем довольно отдаленной возможностью. Могу я [EFR] предложить альтернативу. Вавилоняне создали таблицы из квадратов, на самом деле все их понимание умножения было построено на круглых квадратах, поэтому, возможно, более очевидным подходом для них было бы сделать два предположения, одно высокое и одно низкое, скажем a a a и b b b. Возьмите их среднее значение a + b 2 Large frac 2 2 a + b и возвести его в квадрат. Если квадрат больше 2, замените b b b этой лучшей границей, а если квадрат меньше 2, замените a a a на a + b 2 Large frac 2 2 а + б. Продолжаем алгоритм.

Конечно, для достижения шестидесятеричного приближения требуется гораздо больше шагов 1 24, 51, 10. Фактически, начиная с a = 1 a = 1 a = 1 и b = 2 b = 2 b = 2, требуется 19 шагов, как показано в таблице ниже: Однако вавилоняне не боялись вычислений и, возможно, были готовы продолжить это простое вычисление, пока ответ не был правильным до третьего шестидесятеричного знака.


Далее мы снова смотрим на Плимптон 322


На планшете четыре столбца по 15 строк. Последний столбец является наиболее простым для понимания, поскольку он дает номер строки и, следовательно, содержит 1, 2, 3,. , 15. Замечательный факт, который Нейгебауэр и Сакс указали в [5], заключается в том, что в каждой строке квадрат числа c c c в столбце 3 минус квадрат числа b b b в столбце 2 является полным квадратом, скажем h h h.

Таким образом, таблица представляет собой список целочисленных троек Пифагора. Это не совсем так, поскольку Нойгебауэр и Сакс полагают, что переписчик сделал четыре ошибки транскрипции, по две в каждом столбце, и такая интерпретация необходима для того, чтобы правило работало. Ошибки легко увидеть как настоящие, однако, например, 8, 1 был скопирован писцом как 9, 1.

Некоторые историки (см., Например, [2]) предположили, что столбец 1 связан с секущей функцией. Однако, как комментирует Джозеф [4]:

Зееман сделал интересное наблюдение. Он указал, что если вавилоняне использовали формулы h = 2 mn, b = m 2 - n 2, c = m 2 + n 2 h = 2mn, b = m ^ <2> -n ^ <2>, c = m ^ <2> + n ^ <2> h = 2 mn, b = m 2 - n 2, c = m 2 + n 2 для генерации пифагоровых троек, тогда существует ровно 16 троек, удовлетворяющих n ≤ 60, 30 ° ≤ t ≤ 45 ° n ≤ 60, 30 ° ≤ t ≤ 45 ° n ≤ 6 0, 3 0 ° ≤ t ≤ 4 5 ° и tan ⁡ 2 t = h 2 / b 2 tan ^ <2> t = h ^ <2> / b ^ <2> tan 2 t = h 2 / b 2, имеющий конечное шестидесятеричное расширение (что эквивалентно m, n, bm, n, bm, n, b, имеющему 2, 3 и 5 как их единственные простые делители). Теперь 15 из 16 троек Пифагора, удовлетворяющих условиям Зеемана, появляются в Plimpton 322. Это самая ранняя известная теорема математической классификации? Хотя я не могу поверить, что Зееман прав, но я чувствую, что его объяснение должно быть правильным.

Чтобы справедливо обсудить Плимптон 322, мы должны добавить, что не все историки согласны с тем, что эта табличка касается пифагорейских троек. Например, Экзархак в [17] утверждает, что табличка связана с решением квадратных уравнений и не имеет ничего общего с пифагоровыми тройками:

Табличка из Сузы ставит задачу о равнобедренном треугольнике со сторонами 50, 50 и 60. Задача состоит в том, чтобы найти радиус круга через три вершины.


Пифагор & # x27 Другая теорема: краткая история вегетарианства

Недавно в своей еженедельной программе Heritage Radio Network «Вкус прошлого» Линда Пеллачо взяла интервью у Ринна Берри, автора и исторического советника Североамериканского вегетарианского общества.

Берри был вегетарианцем с тех пор, как в подростковом возрасте узнал, что животные испытывают тревогу перед забоем. Его вегетарианство с тех пор превратилось в веганский образ жизни, что означает, что он исключает все продукты животного происхождения, включая мед, не только из своего рациона, но и из своей одежды.

С Пеллацио Берри обсудил траекторию вегетарианства, которое было задокументированной частью истории с шестого века до нашей эры. По словам Берри, первое вегетарианское общество было основано древнегреческим математиком Пифагором (ключевым игроком в геометрии девятого класса). Пифагор не только демистифицировал треугольники, но и распространил Евангелие Будды, современника Пифагора, который лично вдохновил его практиковать ненасильственное вегетарианство. Для Пифагора воздержание от мяса было основано на его духовных ценностях. Питание не стало важным фактором в рационе гораздо позже в истории. Фактически, диета без каких-либо продуктов животного происхождения на самом деле называлась «пифагорейской» диетой до 1944 года, когда Дональд Уотсон, основатель веганского общества, придумал слово веган. Впервые вегетарианство было зарегистрировано в 1848 году, скорее всего, оксфордским ученым.

Берри написал несколько книг о вегетарианстве, в том числе Известные вегетарианцы. Среди известных воздержателей от мяса можно назвать Бенджамина Франклина, которого Берри назвал «единственным отцом-основателем, увлеченным вегетарианством», а также Джорджа Бернарда Шоу, которому команда врачей, как известно, сказала, что ему нужно есть мясо или умереть с голоду. Он не только не голодал, но и дожил до 94 лет.

Другие вегетарианцы XIX века получили наследие своих имен, вошедших в лексикон промышленных продуктов питания сегодня. Джон Харви Келлог, адвентист седьмого дня и изобретатель кукурузных хлопьев, создал хлопья в качестве альтернативы постному завтраку. Сильвестр Грэм, пресвитерианский священник, проповедовавший воздержание, цельнозерновые и вегетарианские диеты, создал крекер, который, по его мнению, был превосходным по питательности продуктом. Энтузиасты S'mores могут быть уверены, что современная версия любимого угощения у костра, крекера Грэма, мало похожа на оригинальный прототип.

Траектория вегетарианства особенно интересна, особенно в Америке, где история неоднократно отмечала свое возрождение. Все ранние вегетарианцы, которых я назвал в этой статье, были вдохновлены своими религиями придерживаться безмясной диеты. Их цели могли быть разными, но общим стимулом было духовное чувство ясности, которое, как считалось, можно было достичь, соблюдая диету, лишенную мяса. Только в 20 веке Америка приняла вегетарианство в светской манере. Поколение бэби-бумеров, вдохновленное насилием 1960-х годов и униженное угрозами неминуемых экологических катастроф, в основном придерживалось диеты, вдохновленной экологией и желанием приблизиться к Земле. К тому времени, когда вышла культовая книга Фрэнсис Мур Лаппе, Диета для маленькой планеты (1971), вегетарианство проникло в общественное сознание Америки.

Сегодня мы наблюдаем вегетарианское сокращение. С одной стороны, в обществе поклоняются питанию, и диета без мяса стала приемлемой отправной точкой для здорового образа жизни. Даже крайние варианты вегетарианства, такие как веганство и сыроедение, начали избавляться от стигмы. Уильям Джефферсон Клинтон, который не был отцом-основателем, но является любимым бывшим президентом, открыто заявлял о своем резком переходе от диеты, основанной на фаст-фуде, на строгую веганскую диету. Ринн Берри называл Клинтона «коронарным вегетарианцем», человеком, который переходит на растительную диету по рекомендации врача после сердечного приступа или серьезной процедуры. Возможно, вдохновленные своим бывшим президентом или, возможно, просто оседлавшие нынешнюю волну тенденций, американский народ выслушал целый ряд свидетельств знаменитостей, которые придерживаются своей новой безмясной диеты. Этика редко бывает стимулом, и импульс, ориентированный на питание, создал перекрестный круг игроков на грани «Я хочу свое мясо» и «Я тоже хочу чувствовать себя хорошо». Этот новый бизнес, направленный на то, чтобы оставаться здоровым, не жертвуя вкусовыми предпочтениями, вдохновил такие движения, как «Понедельники без мяса», которые поощряют приверженность к более низкому питанию в пищевой цепочке без необходимости переходить на холодную индейку. Или холодную индейку, в зависимости от обстоятельств.

Как мы видим, этическая приверженность диете без жестокости была смягчена и популяризована за счет изменения фокуса. Да, мы по-прежнему заботимся о животных, но теперь, когда мы знаем, что можем употреблять в пищу существ, которые жили здоровой и счастливой жизнью, нам больше не нужно беспокоиться о том, что их кровь остается на наших руках. Важно отметить, что только пять процентов американцев идентифицируют себя как вегетарианцы, и для большинства мясоедов существуют другие способы сильного и позитивного воздействия на окружающую среду и собственное здоровье. Стремление к разнообразию пород в наших поставках мяса и закупка только экологически выращенного скота - это эффективный и важный выбор, который следует учитывать мясоедам. Вегетарианство само по себе по своей сути сложно, глубокие отношения между животноводством и молочной промышленностью вызывают серьезные споры при выборе исключения из рациона мяса, но не сыра и молока. Независимо от выбора, который вы делаете в своем рационе, чем больше точек соприкасается между здоровьем, состраданием и экологией, тем более питательной станет ваша диета для вашего разума и тела.

Слушайте оригинальное интервью Линды Пеллачо и Ринн Берри здесь.

Чтобы узнать больше о Ринне Берри и его книгах о вегетарианстве, щелкните здесь.


Теорема Пифагора: путь истины - история

Построим квадраты по сторонам прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора затем утверждает, что сумма (площадей) двух маленьких квадратов равна (площади) большого.

В алгебраических терминах а 2 + Ь 2 = с 2 куда c это гипотенуза, а а а также б стороны треугольника.

Теорема имеет фундаментальное значение в евклидовой геометрии, где она служит основой для определения расстояния между двумя точками. Это настолько элементарно и хорошо известно, что, я полагаю, любой, кто посещал уроки геометрии в средней школе, не мог не помнить его еще долго после того, как другие математические понятия были полностью забыты.

Я планирую представить несколько геометрических доказательств теоремы Пифагора. Толчком для этой страницы стал замечательный Java-апплет, написанный Джимом Мори. Это первое доказательство на этой странице. Один из моих первых Java-апплетов был написан, чтобы проиллюстрировать другое евклидово доказательство. В настоящее время существует несколько иллюстраций Java с различными доказательствами, но большинство из них было отрисовано в простом HTML с простыми графическими диаграммами.

Замечание

Утверждение теоремы было обнаружено на вавилонской табличке примерно в 1900–1600 годах до нашей эры. Был ли Пифагор (около 560-480 до н.э.) или кто-то другой из его школы первым, кто обнаружил это доказательство, нельзя утверждать с какой-либо степенью достоверности. Евклида (около 300 г. до н. Э.) Элементы предоставить первый, а затем и стандартный справочник по геометрии. Апплет Джима Мори следует предложению I.47 (Первая книга, предложение 47), моему VI.31. Теорема обратима, что означает, что треугольник, стороны которого удовлетворяют условию a 2 + b 2 = c 2, имеет прямой угол. Евклид был первым (I.48), который упомянул и доказал этот факт.

В. Данэм [Математическая Вселенная] цитирует книгу Предложение Пифагора профессора начала 20 века Элиша Скотт Лумис. Книга представляет собой собрание 367 доказательств теоремы Пифагора и была переиздана NCTM в 1968 году.

Теорема Пифагора обобщается на пространства более высоких размерностей. Некоторые обобщения далеки от очевидности.

Ларри Хон придумал плоское обобщение, связанное с законом косинусов, но более короткое и красивое.

Теорема, формулировка которой приводит к понятию евклидова расстояния, евклидова и гильбертова пространств, играет важную роль в математике в целом. Я начал собирать математические факты, доказательство которых может быть основано на теореме Пифагора.

(EWD) знак (a + b - g) = знак (a 2 + b 2 - c 2),

где sign (t) - сигнум-функция:

Теорема, которой посвящена эта страница, трактуется как «Если тогда Дейкстра заслуженно найдет (EWD) более симметричным и более информативным. Отсутствие трансцендентных величин (p) рассматривается как дополнительное преимущество.

Доказательство # 2

Начинаем с двух квадратов со сторонами а а также б, соответственно, размещены рядом. Общая площадь двух квадратов составляет а 2 + б 2 .

Строительство не начиналось с треугольника, но теперь мы рисуем их два, оба со сторонами. а а также б и гипотенуза c. Обратите внимание, что сегмент, общий для двух квадратов, был удален. Таким образом, на данный момент у нас есть два треугольника и странно выглядящая форма.

В качестве последнего шага мы поворачиваем треугольники на 90 o каждый вокруг своей верхней вершины. Правый треугольник вращается по часовой стрелке, а левый треугольник - против часовой стрелки. Очевидно, что получившаяся форма представляет собой квадрат со стороной c и площадью c 2 .

(Вариант этого доказательства находится в сохранившейся рукописи Тхакиркбита ибн Курры, находящейся в библиотеке Айя Софья Мусиум в Турции, зарегистрированной под номером 4832. [Р. Шломинг, Тхакиркбит ибн Курра и теорема Пифагора, учитель математики 63 ( Oct., 1970), 519-528]. Диаграмма ибн Курры аналогична диаграмме в доказательстве № 27. Само доказательство начинается с отметки наличия четырех равных прямоугольных треугольников, окружающих странно выглядящую форму, как в текущем доказательстве № 2. четыре треугольника попарно соответствуют начальному и конечному положению повернутых треугольников в текущем доказательстве. Эту же конфигурацию можно наблюдать в доказательстве с помощью тесселяции.)

Доказательство # 3

Теперь начнем с четырех копий одного и того же треугольника. Три из них были повернуты на 90 °, 180 ° и 270 ° соответственно. У каждого есть площадь ab/ 2. Сложим их вместе без дополнительных поворотов так, чтобы они образовали квадрат со стороной c.

В квадрате есть квадратное отверстие со стороной, суммирующей его площадь, и 2.ab, площадь четырех треугольников (4 & middotab/ 2), получаем

Доказательство # 4

Четвертый подход начинается с тех же четырех треугольников, за исключением того, что на этот раз они объединяются, образуя квадрат со стороной (а + б) и дырка сбоку c. Мы можем вычислить площадь большого квадрата двумя способами. Таким образом

(а + б) 2 = 4 & миддотab/2 + c 2

упрощая, мы получаем необходимую идентичность.

Доказательство # 5

Это доказательство, обнаруженное президентом Дж. А. Гарфилд в 1876 году [Папас], является вариацией предыдущей. Но на этот раз мы вообще не рисуем квадратов. Ключевым моментом является формула площади трапеции - полусумма баз, умноженная на высоту - (а + б) / 2 и миддот (а + б). Если посмотреть на картинку с другой стороны, это также можно вычислить как сумму площадей трех треугольников: ab/2 + ab/2 + cи миддотc/ 2. Как и прежде, упрощения дают а 2 + Ь 2 = с 2 .

Две копии одной и той же трапеции можно объединить двумя способами, прикрепив их по наклонной стороне трапеции. Одно ведет к доказательству №4, другое - к доказательству №52.

Доказательство # 6

Мы начнем с исходного треугольника, обозначенного теперь ABC, и нам потребуется только одна дополнительная конструкция - высота AD. Треугольники ABC, BDA и ADC похожи, что приводит к двум отношениям:

AB / BC = BD / AB и AC / BC = DC / AC.

Написано по-другому, они становятся

AB & middotAB = BD & middotBC и AC & middotAC = DC & middotBC

В частной переписке доктор Франс Дакар, Любляна, Словения, предположил, что диаграмма справа может служить двум целям. Во-первых, это дает дополнительное графическое представление к настоящему доказательству №6. Кроме того, подчеркивается связь последнего с доказательством №1.

Доказательство # 7

Следующее доказательство дословно взято из Евклида VI.31 в переводе сэра Томаса Л. Хита. Великий Г. Поля анализирует это в своей книге «Индукция и аналогия в математике» (II.5), которую рекомендуется прочитать студентам и учителям математики.

В прямоугольных треугольниках фигура на стороне, образующей прямой угол, равна аналогичным и аналогичным образом описанным фигурам на сторонах, содержащих прямой угол.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом BAC. Я говорю, что фигура на BC равна аналогичным и описанным аналогично фигурам на BA, AC.

Пусть AD нарисован перпендикулярно. Затем, поскольку в прямоугольном треугольнике ABC, AD нарисован из прямого угла в точке A перпендикулярно основанию BC, треугольники ABD, ADC, примыкающие к перпендикуляру, подобны как всей ABC, так и друг другу [VI.8 ].

И поскольку ABC подобен ABD, следовательно, как CB относится к BA, так и AB к BD [VI.Def.1].

И поскольку три прямые линии пропорциональны, как первая - третьей, так и фигура на первой пропорциональна аналогичной и аналогичным образом описанной фигуре на второй [VI.19]. Следовательно, как CB относится к BD, так и фигура на CB относится к аналогичному и описанному аналогично рисунку на BA.

По той же причине, что и BC для CD, так и фигура на BC относится к CA, так что, кроме того, как BC относится к BD, DC, то же самое и на BC к аналогичным и описанным аналогично фигурам на BA, AC.

Но BC равен BD, DC, поэтому фигура на BC также равна аналогичным и описанным аналогично фигурам на BA, AC.

Признание

Я по-настоящему оценил это доказательство только после прочтения упомянутой выше книги Поля. Я надеюсь, что Java-апплет поможет вам разобраться в этом замечательном доказательстве. Обратите внимание, что фактически доказанное утверждение является гораздо более общим, чем общеизвестная теорема.

Доказательство # 8

Играя с апплетом, демонстрирующим доказательство Евклида (№7), я обнаружил еще один, который, хотя и уродлив, тем не менее служит цели.

Таким образом, начиная с треугольника 1, мы добавляем еще три способом, предложенным в доказательстве №7: аналогичные и описанные аналогично треугольники 2, 3 и 4. Получив пару соотношений, как это было сделано в доказательстве №6, мы приходим к длинам сторон как изображен на схеме. Теперь на окончательную форму можно взглянуть двумя способами:

  • как объединение прямоугольника (1 + 3 + 4) и треугольника 2, или
  • как объединение прямоугольника (1 + 2) и двух треугольников 3 и 4.

ab / c и миддот (a 2 + b 2) / c + ab / 2 = ab + (ab / c и миддот a 2 / c + ab / c и миддот b 2 / c) / 2

ab / c & middot (a 2 + b 2) / c / 2 = ab / 2, или (a 2 + b 2) / c 2 = 1

Замечание

Оглядываясь назад, есть более простое доказательство. Посмотрите на прямоугольник (1 + 3 + 4). Его длинная сторона, с одной стороны, является простой c, а с другой стороны, это 2 / c + b 2 / c, и мы снова имеем ту же идентичность.

Доказательство # 9

Другое доказательство связано с перестановкой жестких частей, как и в доказательстве №2. Это полностью лишает алгебраическую часть доказательства №4. К двум фотографиям добавить особо нечего.

(Я искренне благодарен Монти Фистеру за любезное разрешение использовать графику.)

Доказательство # 10

Это и следующие 3 доказательства взяты из [PWW].

Треугольники в Доказательстве №3 могут быть переставлены еще одним способом, который делает пифагорейскую идентичность очевидной.

(Более поясняющая диаграмма справа была любезно прислана мне Монти Фистером.)

Доказательство # 11

Нарисуйте круг радиуса c и прямоугольный треугольник со сторонами a и b, как показано. В этой ситуации можно применить любой из нескольких хорошо известных фактов. Например, на схеме три точки F, G, H, расположенные на окружности, образуют другой прямоугольный треугольник с высотой FK длины a. Его гипотенуза GH делится в соотношении (c + b) / (c-b). Итак, как и в Доказательстве №6, получаем a 2 = (c + b) (c-b) = c 2 - b 2.

Доказательство # 12

Это доказательство является вариацией № 1, одного из первоначальных доказательств Евклида. В частях 1, 2 и 3 два маленьких квадрата срезаются по направлению друг к другу, так что общая заштрихованная область остается неизменной (и равна a 2 + b 2). В части 3 длина вертикальной части заштрихованной области граница области точно c, потому что два оставшихся треугольника являются копиями исходного. Это означает, что можно скользить вниз по заштрихованной области, как в части 4. Отсюда легко следует теорема Пифагора.

(Это доказательство можно найти у Г. Ивса, В математических кругах, MAA, 2002, стр. 74-75)

Доказательство # 13

На диаграмме есть несколько похожих треугольников (abc, a'b'c ', a'x и b'y.) Мы последовательно имеем

y / b = b '/ c, x / a = a' / c, cy + cx = aa '+ bb'.

И, наконец, cc '= aa' + bb '. Это очень похоже на Доказательство №6, но результат более общий.

Доказательство # 14

Это доказательство Х. Э. Дудени (1917) начинается с разделения квадрата большей стороны на четыре части, которые затем объединяются с меньшей и образуют квадрат, построенный на гипотенузе.

Грег Фредериксон из Университета Пердью, автор поистине поучительной книги, Разделы: самолет и фантазия (Cambridge University Press, 1997) указали на историческую неточность:

Вы приписали доказательство № 14 Е. Dudeney (1917 г.), но фактически он был опубликован ранее (1873 г.) Генри Перигалем, лондонским биржевым маклером. Другое доказательство вскрытия появилось намного раньше, данное арабским математиком / астрономом Табитом в десятом веке. Я включил подробности об этих и других доказательствах вскрытия (включая доказательства закона косинусов) в мою недавнюю книгу "Dissections: Plane & Fancy", Cambridge University Press, 1997. Вам может понравиться веб-страница книги:

Билл Кассельман из Университета Британской Колумбии подтверждает информацию Грега. Мой пришел из Доказательства без слов Р.Б. Нельсен (МАА, 1993).

Доказательство # 15

Это замечательное доказательство К. О. Фридрихса является обобщением предыдущего доказательства Дудени. Это действительно общее. Он общий в том смысле, что из него можно вывести бесконечное множество конкретных геометрических доказательств. (Роджер Нельсен приписывает [PWWII, стр. 3] это доказательство Аннаиризи из Аравии (около 900 г. н.э.))

Доказательство # 16

Это доказательство приписывают Леонардо да Винчи (1452-1519) [Eves]. Четырехугольники ABHI, JHBC, ADGC и EDGF равны. (Это следует из наблюдения, что угол ABH равен 45 o. Это так, потому что ABC является прямоугольным, поэтому центр O квадрата ACJI лежит на окружности, описывающей треугольник ABC. Очевидно, что угол ABO равен 45 o.) Теперь, площадь (ABHI) + площадь (JHBC) = площадь (ADGC) + площадь (EDGF). Каждая сумма содержит две площади треугольников, равных ABC (IJH или BEF), удаление которых дает теорему Пифагора.

Дэвид Кинг несколько изменяет аргумент

Длины сторон шестиугольников идентичны. Углы при P (прямой угол + угол между a и c) идентичны. Углы при Q (прямой угол + угол между b и c) идентичны. Следовательно, все четыре шестиугольника идентичны.

Доказательство # 17

Это доказательство появляется в Книге IV. Математический сборник Папа Александрийского (ок. 300 г. н. э.) [Ева, Папас]. Он обобщает теорему Пифагора двумя способами: треугольник ABC не обязательно должен быть прямоугольным, а фигуры, построенные на его сторонах, представляют собой произвольные параллелограммы, а не квадраты. Таким образом построим параллелограммы CADE и CBFG на сторонах AC и, соответственно, BC. Пусть DE и FG пересекаются в H и проводят AL и BM, параллельные HC. Тогда площадь (ABML) = площадь (CADE) + площадь (CBFG). Действительно, с преобразованием перетекания, уже используемым в доказательствах №1 и №12, площадь (CADE) = площадь (CAUH) = площадь (SLAR), а также площадь (CBFG) = площадь (CBVH) = площадь (SMBR). Теперь просто сложите то, что равно.

Доказательство № 18

Это еще одно обобщение, не требующее прямых углов. Это связано с Тхакирбитом ибн Куррой (836-901) [Ева]. Если углы CAB, AC'B и AB'C равны, то действительно, треугольники ABC, AC'B и AB'C подобны. Таким образом, у нас есть и, что сразу приводит к требуемой идентичности. Если угол A прямой, теорема сводится к предложению Пифагора и доказательству №6.

Доказательство # 19

Это доказательство является вариацией №6. На маленькой стороне AB добавьте прямоугольный треугольник ABD, похожий на ABC. Тогда, естественно, DBC похож на два других. Из AD = AB 2 / AC и BD = AB & middotBC / AC мы получаем, что деление на AB / AC приводит к

Доказательство # 20

Это помесь №7 и №19. Постройте треугольники ABC ', BCA' и ACB 'аналогично ABC, как показано на схеме. По построению, кроме того, треугольники ABB 'и ABC' также равны. Таким образом, мы заключаем, что Из подобия треугольников получаем, как и прежде, B'C = AC 2 / BC и BC '= AC & middotAB / BC. Объединение всего этого дает такой же результат, как и

Доказательство # 21

Ниже приводится отрывок из письма доктора Скотта Броди из Медицинской школы Маунт-Синай, штат Нью-Йорк, который прислал мне пару доказательств собственно теоремы и ее обобщения на Закон косинусов:

Первое доказательство, которое я просто привожу из прекрасного обсуждения в серии Project Mathematics, основано на теореме Птолемея о четырехугольниках, вписанных в круг: для таких четырехугольников сумма произведений длин противоположных сторон, взятых попарно, равна произведение длин двух диагоналей. В случае прямоугольника это сразу сводится к a 2 + b 2 = c 2.

Доказательство # 22

Вот второе доказательство из письма доктора Скотта Броди.

Мы принимаем как известные теоремы о "силе точки": если точка берется за пределы круга, и из этой точки проводится отрезок, касательный к окружности, и проводится другой отрезок (секущая), который разрезает круг пополам. различных точек, то квадрат длины касательной равен произведению расстояния по секущей от внешней точки до ближайшей точки пересечения с окружностью и расстояния вдоль секущей до дальней точки пересечения с окружностью. круг.

Пусть ABC будет прямоугольным треугольником с прямым углом в C. Проведите высоту от C до гипотенузы, пусть P обозначает основание этой высоты. Тогда, поскольку CPB правая, точка P лежит на окружности диаметра BC, а поскольку CPA правая, точка P лежит на окружности диаметра AC. Следовательно, пересечение двух окружностей на катетах BC, CA исходного прямоугольного треугольника совпадает с P и, в частности, лежит на AB. Обозначим через Икс а также у длины отрезков BP и PA соответственно, и, как обычно, пусть а, б, в обозначим длины сторон ABC, противоположных углам A, B, C соответственно. Потом, Икс + у = c.

Поскольку угол C прямой, BC касается окружности с диаметром CA, а степенная теорема утверждает, что а 2 = xc аналогично AC касается окружности с диаметром BC, и Би 2 = yc. Добавляя, находим а 2 + Би 2 = xc + yc = c 2 , Q.E.D.

Доктор Броди также создал файл SketchPad от Geometer, чтобы проиллюстрировать это доказательство.

Доказательство # 23

Другое доказательство основано на формуле Герона, которую я уже использовал в Доказательстве №7 для отображения областей треугольника. Это довольно запутанный способ доказательства теоремы Пифагора, которая, тем не менее, отражает центральную роль теоремы в геометрии плоскости.

Доказательство № 24

[Свец] приписывает это доказательство Абу 'Л'Хасану Тхасиркбиту ибн Курра Марву и Ацирку аль'Харрани (826-901). Это второе из доказательств, данных Фациркбитом ибн Куррой. Первый - это, по сути, №2 выше.

Доказательство напоминает часть 3 доказательства №12. ABC = FLC = FMC = BED = AGH = FGE. С одной стороны, площадь фигуры ABDFH равна AC 2 + BC 2 + площадь (ABC + FMC + FLC). С другой стороны, площадь (ABDFH) = AB 2 + площадь (BED + FGE + AGH).

Это «развернутый» вариант приведенного выше доказательства. Две пятиугольные области - красная и синяя - очевидно равны и оставляют одну и ту же область после удаления трех равных треугольников из каждой.

Доказательство популяризирует Монти Фистер, автор неподражаемой книги. Корявая математика CD-ROM.

Доказательство # 25

Б.Ф. Янни (1903, [Swetz]) дал доказательство, используя «скользящий аргумент», также используемый в Доказательствах №1 и №12. Последовательно, области LMOA, LKCA и ACDE (то есть AC 2) равны, как и области HMOB, HKCB и HKDF (что BC 2). BC = DF. Таким образом, AC 2 + BC 2 = площадь (LMOA) + площадь (HMOB) = площадь (ABHL) = AB 2.

Доказательство № 26

Это доказательство я обнаружил на сайте Билла Кассельмана, где оно представлено Java-апплетом.

Со всеми приведенными выше доказательствами это должно быть простым. Такие же треугольники, как в пруфах №6 или №13.

Доказательство # 27

Те же части, что и в доказательстве №26, можно переставить еще одним способом.

Это рассечение часто приписывают голландскому математику 17 века Франсу ван Скутену. [Фредериксон, стр. 35] рассматривает его как навесной вариант того, что написано ибн Куррой, см. Примечание в скобках после доказательства №2. Доктор Франс Дакар из Словении указал, что эту же диаграмму легко объяснить с помощью мозаики в доказательстве №15. На самом деле, это можно лучше объяснить с помощью другой мозаики. (Я благодарю Дугласа Роджерса за то, что он все разъяснил.)

Доказательство # 28

Мелисса Бегущая из MathForum любезно прислала мне ссылку на Доказательство теоремы Пифагора Лю Хуэй (III век нашей эры). Страница поддерживается Дональдом Б. Вагнером, экспертом по истории науки и техники в Китае. Диаграмма является реконструкцией письменного описания алгоритма Лю Хуэем (III век нашей эры). За подробностями обращайтесь к исходной странице.

Доказательство # 29

Механическое доказательство теоремы заслуживает отдельной страницы.

К этому доказательству относится страница "Экстра-геометрических" доказательств теоремы Пифагора Скотта Броди.

Доказательство # 30

Это доказательство я нашел в продолжении Р. Нельсена. Доказательства без слов II. (Это связано с Паком Пу Сон и изначально было опубликовано в Математический журнал, Декабрь 1999 г.). Начав с одной из сторон прямоугольного треугольника, постройте 4 конгруэнтных равнобедренных прямоугольных треугольника с гипотенами любых последующих двух перпендикуляров и вершинами, удаленными от данного треугольника. Гипотенуза первого из этих треугольников (красный на схеме) должна совпадать с одной из сторон.

Вершины равнобедренных треугольников образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе данного треугольника. Гипотенусы этих треугольников пересекают стороны квадрата в их серединах. Так что получается 4 пары равных треугольников (одна из пар зеленого цвета). Один из треугольников в паре находится внутри квадрата, другой - снаружи. Пусть стороны исходного треугольника равны a, b, c (гипотенуза). Если первый равнобедренный треугольник был построен на стороне b, то каждый имеет площадь b 2/4. Мы получаем

Вот динамическая иллюстрация и еще одна диаграмма, которая показывает, как разрезать два меньших квадрата и переставить их в большой.

Доказательство № 31

Для правой ABC обозначим, как обычно, длины сторон BC, AC и гипотенузы через a, b и c соответственно. Постройте квадраты на сторонах BC и AC, как показано на схеме. Согласно SAS, треугольники ABC и PCQ равны, так что Пусть M будет серединой гипотенузы. Обозначим пересечение MC и PQ через R. Покажем, что

Медиана гипотенузы равна половине последней. Следовательно, CMB равнобедренный, и, кроме того, отсюда следует, что угол CRP правильный, или

С этими предварительными сведениями мы переходим к треугольникам MCP и MCQ. Мы оцениваем их области двумя разными способами:

С одной стороны, высота от M до PC равна AC / 2 = b / 2. Но также Следовательно, С другой стороны, Подобным образом, а также

Мы можем суммировать две идентичности: или

(Я благодарен Флор ван Ламоену, который довел до моего сведения это доказательство. Оно появилось в Пифагор - голландский математический журнал для школьников - в номере за декабрь 1998 г., в статье Бруно Эрнста. Доказательство приписывают ученице американской средней школы 1938 года по имени Энн Кондит.)

Доказательство № 32

Пусть ABC и DEF - два конгруэнтных прямоугольных треугольника, такие что B лежит на DE, а A, F, C, E коллинеарны. ,,. Очевидно, что площадь ADE можно вычислить двумя разными способами.

Площадь (ADE) = AB & middotDE / 2 = c 2/2, а также CE можно найти из аналогичных треугольников BCE и DFE: Собирая все вместе, получаем

(Это доказательство является упрощением одного из доказательств Мишель Уоткинс, студентки Университета Северной Флориды, которое появилось в Математический спектр 1997/98, v30, n3, 53-54.)

Дуглас Роджерс заметил, что одну и ту же диаграмму можно трактовать по-разному:

Доказательство 32 может быть уточнено немного дальше, в соответствии с линиями более поздних доказательств, добавленных совсем недавно, и, таким образом, избегая подобных треугольников.

Конечно, ADE - это треугольник на основании DE с высотой AB, то есть площадью cc / 2.

Но его можно разрезать на треугольник FEB и четырехугольник ADBF. Первый имеет основание FE и высоту BC, поэтому площадь aa / 2. Последний, в свою очередь, состоит из двух треугольников, соединенных спиной к основанию DF с комбинированными высотами AC, так что площадь bb / 2. Альтернативное рассечение рассматривает треугольник ADE как состоящий из треугольника ADC и треугольника CDE, который, в свою очередь, состоит из двух треугольников, соединенных спиной к основанию BC, с объединенными высотами EF.

Следующие два доказательства сопровождают следующее сообщение от Шая Симонсона, профессора Стоунхилл-колледжа в Кембридже, Массачусетс:

Мне понравилось просматривать ваш сайт, и я наткнулся на длинный список доказательств теоремы Пифа.

В моем курсе «История математических изобретений» я использую два доказательства, в которых используется вписанный круг в прямоугольный треугольник. В каждом доказательстве используются две диаграммы, и каждая представляет собой другой геометрический вид единого алгебраического доказательства, которое я обнаружил много лет назад и опубликовал в письме к Учителю математики.

Два геометрических доказательства не требуют слов, но требуют небольшого размышления.

Доказательство # 33

Доказательство № 34

Доказательство № 35

Cracked Domino - доказательство Марио Пачека (также известного как Пакослав Гвиздальский) - также требует некоторого размышления.

Доказательство, отправленное по электронной почте, сопровождалось следующим сообщением:

Это новое, экстраординарное и чрезвычайно элегантное доказательство, вполне вероятно, самой фундаментальной теоремы в математике (безоговорочно победитель по количеству доказательств 367?) Превосходит все известные науке доказательства, в том числе китайские доказательства и доказательства Джеймса А. Гарфилда (20-го президента США). ), потому что он прямой, не требует никаких формул, и его могут получить даже дошкольники. Вполне вероятно, что он идентичен утерянному оригиналу - но кто может это доказать? Еще не в Книге рекордов Гиннеса!

Способ сочетания деталей вполне может быть оригинальным. Само вскрытие хорошо известно (см. Доказательства 26 и 27) и описано в книге Фредериксона, стр. 29. Здесь отмечается, что Б. Броди (1884) заметил, что подобное рассечение также применимо к подобным прямоугольникам. Рассечение также является частным случаем доказательства суперпозиции К. О. Фридрихса.

Доказательство № 36

Это доказательство принадлежит J. E. B & oumlttcher и было процитировано Нельсеном (Доказательства без слов II, п. 6).

Я думаю, что взломать это доказательство без слов - хорошее упражнение для среднего или старшего школьного класса по геометрии.

Доказательство № 37

Аплет Дэвида Кинга, демонстрирующий это доказательство, помещен на отдельную страницу.

Доказательство # 38

Это доказательство мне также сообщил Дэвид Кинг. Квадраты и 2 треугольника объединяются в два шестиугольника равной площади, которые можно было бы установить, как в Доказательстве №9. Однако оба шестиугольника образуют мозаику на плоскости.

Для каждого шестиугольника в левой мозаике есть шестиугольник в правой мозаике. Обе мозаики имеют одинаковую решетчатую структуру, которую демонстрирует апплет. Теорема Пифагора доказывается после удаления двух треугольников из каждого шестиугольника.

Доказательство № 39

(Дж. Барри Саттон, The Math Gazette, т. 86, н. 505, март 2002 г., стр. 72).

Пусть в ABC угол C = 90 o. Как обычно, определим точки D и E на AB так, чтобы

По построению C лежит на окружности с центром A и радиусом b. Угол DCE соответствует его диаметру и, таким образом, является правильным: Отсюда следует, что Поскольку ACE равнобедренный,

Треугольники DBC и EBC имеют общий DBC. Кроме того, следовательно, треугольники DBC и EBC подобны. У нас есть или

а 2 = с 2 - б 2,
а 2 + Ь 2 = с 2.

Диаграмма напоминает одно из доказательств Тасиркбита ибн Курры. Но это совершенно разные вещи.

Доказательство # 40

Это написано Майклом Харди из Университета Толедо и было опубликовано в The Mathematical Intelligencer в 1988 году. К нему следует относиться с недоверием.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с гипотенузой BC. Обозначим и. Затем, когда C движется вдоль линии AC, x изменяется, как и y. Предположим, что x изменился на небольшую величину dx. Затем y изменилось на небольшую величину dy. Треугольник CDE приблизительно можно считать правильным. Если предположить, что это так, он имеет один угол (D) с треугольником ABD и, следовательно, похож на последний. Это приводит к пропорциональному или (разделимому) дифференциальному уравнению

что после интегрирования дает y 2 - x 2 = const. Значение константы определяется из начального условия для Since для всех x.

С этим доказательством легко возразить. Что значит быть треугольником? Могу предложить следующее объяснение. Треугольники ABC и ABD правильны по построению. Имеем, а также по теореме Пифагора. В терминах x и y теорема выглядит как

х 2 + а 2 = у 2
(х + dx) 2 + a 2 = (y + dy) 2

что после вычитания дает

Для малых dx и dy значения dx 2 и dy 2 еще меньше, и ими можно пренебречь, что приводит к приблизительному

Уловка виньетки Майкла заключается в том, что он пропускает проблему приближения. Но можно ли действительно оправдать вывод, не полагаясь в первую очередь на теорему Пифагора? Тем не менее, мне очень доставляет огромное удовольствие помещать вездесущее уравнение в этот геометрический контекст.

Доказательство # 41

Это мне прислал Джеффри Маргрейв из Lucent Technologies. Он очень похож на №8, но создается по-другому. Создайте 3 масштабированные копии треугольника со сторонами a, b, c, по очереди умножив его на a, b и c.Вместе три подобных треугольника образуют прямоугольник, верхняя сторона которого равна c 2, а нижняя - c 2. (Что также показывает, что № 8 можно было бы заключить более коротким путем.)

Кроме того, выбор всего двух треугольников приводит к варианту Доказательств №6 и №19:

В таком виде доказательство содержится в [Birkhoff, p. 92].

Еще один вариант, который может быть связан с № 8, был отправлен Джеймсом Ф .:

У последнего есть близнец, в котором a и b поменялись ролями.

Доказательство № 42

Доказательство основано на той же диаграмме, что и № 33 [Pritchard, p. 226-227].

Площадь треугольника, очевидно, равна rp, где r - вписанная окружность и полупериметр треугольника. По диаграмме гипотенуза или площадь треугольника вычисляется двумя способами:

(Доказательство принадлежит Джеку Оливеру и первоначально было опубликовано в Математический вестник 81 (март 1997 г.), стр. 117-118.)

Доказательство # 43

Примените теорему о мощности точки к диаграмме выше, где сторона a служит касательной к окружности радиуса b: результат следует немедленно.

(Конфигурация здесь по существу такая же, как и в доказательстве №39. Вызов теоремы о мощности точки можно рассматривать как кратчайший путь к аргументу в доказательстве №39.)

Доказательство # 44

Следующее доказательство, относящееся к № 39, было представлено Адамом Роузом (23 сентября 2004 г.).

Начните с двух одинаковых прямоугольных треугольников: ABC и AFE, A - середину BE и CF. Отметьте D на AB и G на продолжении AF, что

(Дополнительные обозначения см. На диаграмме выше.) BCD - равнобедренный. Следовательно, поскольку угол C прямой,

Поскольку AFE является внешним по отношению к EFG, но EFG также является равнобедренным. Таким образом

Теперь у нас есть две линии, CD и EG, пересекаемые CG с двумя альтернативными внутренними углами, ACD и AGE, равными. Следовательно, CD || EG. Треугольники ACD и AGE похожи, и AD / AC = AE / AG:

и следует теорема Пифагора.

Доказательство № 45

Это доказательство принадлежит Дугласу Роджерсу, который обнаружил его в ходе своего исследования истории китайской математики. У них есть также онлайн-версии:

Доказательство - это вариация на 33, 34 и 42. Доказательство проводится в два этапа. Во-первых, как это видно из

где d - диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами a и b и гипотенузой c. Основываясь на этом и переставляя части двумя способами, мы получаем еще одно доказательство теоремы Пифагора без слов:

Доказательство # 46

Это доказательство принадлежит Тао Тонгу (учитель математики, февраль 1994 г., Reader Reflections). Я узнал об этом благодаря хорошим услугам Дугласа Роджерса, который также представил моему вниманию Доказательства № 47, 48 и 49. По духу доказательство напоминает доказательство №32.

Пусть ABC и BED - равные прямоугольные треугольники с E на AB. Мы собираемся оценить площадь ABD двумя способами:

Используя обозначения, указанные на диаграмме, мы получаем, отмечая сходство треугольников BFC и ABC:

Эти две формулы легко объединяются в пифагорейскую идентичность.

Доказательство # 47

Это доказательство, которое принадлежит старшекласснику Джону Кавамуре, было представлено Крисом Дэвисом, его учителем геометрии в школе Head-Rouce, Окленд, Калифорния (Учитель математики, апрель 2005 г., стр. 518.)

Конфигурация практически идентична конфигурации Доказательства № 46, но на этот раз нас интересует площадь четырехугольника ABCD. Обе его перпендикулярные диагонали имеют длину c, так что его площадь равна c 2/2. С другой стороны,

Умножение на 2 дает желаемый результат.

Доказательство № 48

(У. Дж. Доббс, The Mathematical Gazette, 8 (1915-1916), стр. 268.)

На схеме два прямоугольных треугольника - ABC и ADE - равны, а E находится на AB. Как и в доказательстве президента Гарфилда, мы оцениваем площадь трапеции ABCD двумя способами:

где, как в доказательстве №47, c & middotc - произведение двух перпендикулярных диагоналей четырехугольника AECD. С другой стороны,

Комбинируя два, мы получаем c 2/2 = a 2/2 + b 2/2, или, после умножения на 2,

Доказательство № 49

В предыдущем доказательстве мы можем поступить несколько иначе. Завершите квадрат на сторонах AB и AD двух треугольников. Его площадь, с одной стороны, равна b 2, а с другой стороны,

что составляет ту же идентичность, что и раньше.

Дуглас Роджерс, наблюдавший взаимосвязь между доказательствами 46-49, также заметил, что квадрат можно было бы нарисовать на меньших сторонах двух треугольников, если бы второй треугольник был нарисован в «нижнем» положении, как в доказательствах 46 и 47. В этом случае В этом случае мы снова оценим площадь четырехугольника ABCD двумя способами. Со ссылкой на вторую диаграмму выше,

Он также указал, что можно представить себе один из прямоугольных треугольников как скользящий из своего положения в доказательстве № 46 в свое положение в доказательстве № 48, так что его короткая ножка скользит по длинной стороне другого треугольника. В любом промежуточном положении присутствует четырехугольник с равными и перпендикулярными диагоналями, так что для всех положений можно построить доказательства, аналогичные приведенным выше. Треугольник всегда остается внутри квадрата со стороной b - длиной длинной ножки двух треугольников. Теперь мы также можем представить, как треугольник ABC скользит внутри этого квадрата. Это приводит к доказательству, которое напрямую обобщает № 49 и включает конфигурации доказательств 46-48. См. ниже.

Доказательство # 50

Площадь большого квадрата КЛМН b 2. Квадрат разделен на 4 треугольника и один четырехугольник:

Это не интересный вывод, но он показывает, что, когда вы сталкиваетесь с задачей упрощения алгебраических выражений, умножение всех членов для удаления всех скобок может быть не лучшей стратегией. В этом случае, однако, есть даже лучшая стратегия, позволяющая полностью избежать длительных вычислений. По предложению Дугласа Роджерса завершите каждый из четырех треугольников до соответствующего прямоугольника:

Четыре прямоугольника всегда отсекают квадрат размером a, так что их общая площадь равна b 2 - a 2. Таким образом, мы можем закончить доказательство, как и в других доказательствах этой серии:

Доказательство # 51

(У. Дж. Доббс, The Mathematical Gazette, 7 (1913-1914), стр. 168.)

Это любезно предоставлено Дугласом Роджерсом из его обширной коллекции. Как и в доказательстве № 2, треугольник поворачивается на 90 o вокруг одного из своих углов, так что угол между гипотенузами в двух положениях является прямым. Получившаяся в результате форма области b 2 затем разрезается на два прямоугольных треугольника с длинами сторон и и областями c 2/2 и

Доказательство # 52

Это доказательство, обнаруженное старшеклассником Джейми де Лемос (Учитель математики, 88 (1995), стр. 79), было процитировано Ларри Хоном (Учитель математики, 90 (1997), стр. 438-441. )

С одной стороны, площадь трапеции равна

Уравнивание двух дает 2 + b 2 = c 2.

Доказательство тесно связано с доказательством президента Гарфилда.

Доказательство № 53

Ларри Хон также опубликовал следующее доказательство (The Mathematics Teacher, 88 (1995), p. 168.):

Вытяните катет AC прямоугольного треугольника ABC до D так, как показано на схеме. В точке D нарисуйте перпендикуляр к CD. В точке A проведите биссектрису угла BAD. Пусть две прямые пересекаются в E. Наконец, пусть EF перпендикулярна CF.

По этой конструкции треугольники ABE и ADE имеют общую сторону AE, две другие стороны равны: а также углы, образованные этими сторонами: Следовательно, треугольники ABE и ADE конгруэнтны по SAS. Отсюда угол ABE правильный.

Отсюда следует, что в прямоугольных треугольниках ABC и BEF углы ABC и EBF в сумме составляют 90 o. Таким образом

Два треугольника похожи, так что

Но EF = CD или x = b + c, что в сочетании с указанной выше пропорцией дает

С другой стороны, y = u + a, что приводит к

что легко упрощается до c 2 = a 2 + b 2.

Доказательство # 54к

Позже (The Mathematics Teacher, 90 (1997), pp. 438-441.) Ларри Хон еще раз взглянул на свое доказательство и произвел общее, или, скорее, целое семейство однопараметрических доказательств, которые для различных значений параметр, включавший его старое доказательство, а также № 41. Ниже я предлагаю упрощенный вариант, вдохновленный работами Ларри.

Чтобы воспроизвести основную точку доказательства №53, т.е. имея прямоугольный треугольник ABE и другой BEF, последний похож на ABC, мы можем просто разместить BEF со сторонами ka, kb, kc для некоторого k, как показано на диаграмме. . Чтобы диаграмма имела смысл, мы должны ограничить k так, чтобы (это гарантирует, что D не опускается ниже A.)

Теперь площадь прямоугольника CDEF можно вычислить непосредственно как произведение его сторон ka и (kb + a) или как сумму площадей треугольников BEF, ABE, ABC и ADE. Таким образом мы получаем

которое после упрощения сводится к

что всего в одном шаге от предложения Пифагора.

Доказательство работает для любого значения k, удовлетворяющего kb / a. В частности, мы получаем доказательство №41. Далее, приводит к доказательству №53. Конечно, мы бы получили тот же результат, представив площадь трапеции AEFB двумя способами. Это привело бы к доказательству президента Гарфилда.

Очевидно, что работа с трапецией менее строгая и работает для любого положительного значения k.


Теорема Пифагора: путь истины - история


Департамент математического образования
Дж. Уилсон, EMT 669

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора была одной из самых ранних теорем, известных древним цивилизациям. Эта знаменитая теорема названа в честь греческого математика и философа Пифагора. Пифагор основал математическую школу Пифагора в Кортоне, греческом морском порту на юге Италии. Ему приписывают множество вкладов в математику, хотя некоторые из них, возможно, на самом деле были работой его учеников.

Теорема Пифагора - самый известный математический вклад Пифагора. Согласно легенде, Пифагор был так счастлив, когда открыл теорему, что принес в жертву волов. Позднее открытие, что квадратный корень из 2 является иррациональным и поэтому не может быть выражен как отношение двух целых чисел, сильно обеспокоило Пифагора и его последователей. Они искренне верили, что любые две длины являются целыми кратными некоторой единице длины. Было предпринято множество попыток скрыть знание об иррациональности квадратного корня из 2. Говорят даже, что раскрывший секрет человек утонул в море.

Теорема Пифагора - это утверждение о треугольниках, содержащих прямой угол. Теорема Пифагора гласит, что:

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов на остальных сторонах».

Согласно теореме Пифагора, сумма площадей двух красных квадратов, квадратов A и B, равна площади синего квадрата, квадрата C.

Таким образом, теорема Пифагора, сформулированная алгебраически:

для прямоугольного треугольника со сторонами длиной a, b и c, где c - длина гипотенузы.

Хотя Пифагору приписывают знаменитую теорему, вполне вероятно, что вавилоняне знали результат для некоторых конкретных треугольников по крайней мере на тысячелетие раньше, чем Пифагор. Неизвестно, как греки первоначально продемонстрировали доказательство теоремы Пифагора. Если использовались методы Книги II Элементов Евклида, вполне вероятно, что это был тип доказательства вскрытия, подобный следующему:

«Большой квадрат со стороной a + b разделен на два меньших квадрата со сторонами a и b соответственно, и два равных прямоугольника со сторонами a и b, каждый из этих двух прямоугольников может быть разделен на два равных прямоугольных треугольника, нарисовав диагональ c. Четыре треугольника можно расположить внутри другого квадрата со стороной a + b, как показано на рисунках.

Площадь квадрата можно показать двумя способами:

1. Как сумма площадей двух прямоугольников и квадратов:


2. Как сумма площадей квадрата и четырех треугольников:

Теперь, приравнивая два выражения в правой части этих уравнений, получаем


Следовательно, квадрат на c равен сумме квадратов на a и b. (Бертон, 1991)

Есть много других доказательств теоремы Пифагора. Одна из них пришла из современной китайской цивилизации, найденной в старейшем сохранившемся китайском тексте, содержащем формальные математические теории, «Классическая арифметика гномана» и «Круговые пути неба».

Доказательство теоремы Пифагора, вдохновленное фигурой из этой книги, было включено в книгу «Виджаганита» («Корневые вычисления») индусского математика Бхаскара. Единственное объяснение Бхаскары своего доказательства было просто "узри".

Эти доказательства и геометрическое открытие, связанное с теоремой Пифагора, привели к одной из самых ранних проблем теории чисел, известной как проблема Пифагора.

Найдите все прямоугольные треугольники, стороны которых имеют целую длину, и таким образом найдите все решения в положительных целых числах уравнения Пифагора:

Три целых числа (x, y, z), удовлетворяющие этому уравнению, называются тройкой Пифагора.


Формула, которая будет генерировать все тройки Пифагора, впервые появилась в Книге X Элементов Евклида:


где n и m - положительные целые числа противоположной четности, а m & gtn.

В своей книге «Арифметика» Диофант подтвердил, что он может получить прямоугольные треугольники, используя эту формулу, хотя он пришел к ней с помощью другой линии рассуждений.

Теорема Пифагора может быть представлена ​​учащимся в средней школе. Эта теорема становится все более важной в школьные годы. Недостаточно просто сформулировать алгебраическую формулу теоремы Пифагора. Студентам также необходимо видеть геометрические связи. Преподавание и изучение теоремы Пифагора можно обогатить и улучшить за счет использования точечной бумаги, геодоски, фальцовки бумаги и компьютерных технологий, а также многих других учебных материалов. Благодаря использованию манипуляторов и других образовательных ресурсов теорема Пифагора может значить для студентов гораздо больше, чем просто

и подставляя числа в формулу.

Ниже приводится множество доказательств теоремы Пифагора, в том числе доказательство Евклида. Эти доказательства, наряду с манипуляциями и технологиями, могут значительно улучшить понимание студентами теоремы Пифагора.

Ниже приводится обобщение доказательства Евклида, одного из самых известных математиков. Это доказательство можно найти в Книге I Элементов Евклида.

Предложение: В прямоугольных треугольниках квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов на катетах.

Евклид начал с пифагорейской конфигурации, показанной выше на рисунке 2. Затем он построил перпендикулярную линию от C к отрезку DJ на квадрате гипотенузы. Точки H и G являются пересечениями этого перпендикуляра со сторонами квадрата на гипотенузе. Он лежит по высоте до прямоугольного треугольника ABC. См. Рисунок 3.

Затем Евклид показал, что площадь прямоугольника HBDG равна площади квадрата на BC, а площадь прямоугольника HAJG равна площади квадрата на AC. Он доказал эти равенства, используя понятие подобия. Треугольники ABC, AHC и CHB подобны. Площадь прямоугольника HAJG равна (HA) (AJ), а поскольку AJ = AB, площадь также равна (HA) (AB). Сходство треугольников ABC и AHC означает

или, как должно быть доказано, площадь прямоугольника HAJG равна площади квадрата на стороне AC. Точно так же похожи треугольники ABC и CHG. Так

Поскольку сумма площадей двух прямоугольников равна площади квадрата на гипотенузе, это завершает доказательство.

Евклид очень хотел как можно скорее включить этот результат в свою работу. Однако, поскольку его работа над подобием не должна была начаться до Книг V и VI, ему было необходимо придумать другой способ доказательства теоремы Пифагора. Таким образом, он использовал результат, что параллелограммы - это двойные треугольники с одинаковым основанием и между одинаковыми параллелями. Нарисуйте CJ и BE.

Площадь прямоугольника AHGJ в два раза больше площади треугольника JAC, а площадь квадрата ACLE - это двойной треугольник BAE. Два треугольника совпадают по SAS. Тот же результат аналогичным образом следует для другого прямоугольника и квадрата. (Кац, 1993)

Щелкните здесь, чтобы просмотреть анимацию GSP, чтобы проиллюстрировать это доказательство.
Следующие три доказательства являются более понятными доказательствами теоремы Пифагора и идеально подходят для школьников-математиков. Фактически, это доказательства того, что ученики в какой-то момент могут сконструировать себя.
Первое доказательство начинается с прямоугольника, разделенного на три треугольника, каждый из которых содержит прямой угол. Это доказательство можно увидеть с помощью компьютерных технологий или чего-то столь же простого, как учетная карточка 3x5, разрезанная на прямоугольные треугольники.

Видно, что треугольники 2 (зеленый) и 1 (красный) полностью перекрывают треугольник 3 (синий). Теперь мы можем дать доказательство теоремы Пифагора, используя те же треугольники.

I. Сравните треугольники 1 и 3.

Углы E и D, соответственно, являются прямыми углами в этих треугольниках. Сравнивая их сходство, мы имеем

а из рисунка 6 BC = AD. Так,

Путем перемножения получаем:

II. Сравните треугольники 2 и 3:

Сравнивая сходство треугольников 2 и 3, получаем:

На рисунке 4 AB = CD. Путем подстановки

Наконец, сложив уравнения 1 и 2, мы получим:

Мы доказали теорему Пифагора.

Следующее доказательство - еще одно доказательство теоремы Пифагора, которое начинается с прямоугольника. Он начинается с построения прямоугольника CADE с BA = DA. Затем мы строим биссектрису угла & ltBAD и позволяем ей пересекать ED в точке F. Таким образом, & ltBAF конгруэнтно & ltDAF, AF = AF и BA = DA. Итак, согласно SAS, треугольник BAF = треугольник DAF. Поскольку & ltADF является прямым углом, & ltABF также является прямым углом.

Далее, поскольку m & ltEBF + m & ltABC + m & ltABF = 180 градусов и m & ltABF = 90 градусов, & ltEBF и & ltABC дополняют друг друга. Таким образом, m & ltEBF + m & ltABC = 90 градусов. Мы также знаем, что
m & ltBAC + m & ltABC + m & ltACB = 180 градусов. Поскольку m & ltACB = 90 градусов, m & ltBAC + m & ltABC = 90 градусов. Следовательно, m & ltEBF + m & ltABC = m & ltBAC + m & ltABC и m & ltBAC = m & ltEBF.

По теореме подобия AA треугольник EBF подобен треугольнику CAB.

Теперь пусть k будет коэффициентом подобия между треугольниками EBF и CAB.

Таким образом, треугольник EBF имеет стороны с длинами ka, kb и kc. Поскольку FB = FD, FD = kc. Кроме того, поскольку противоположные стороны прямоугольника совпадают, b = ka + kc и c = a + kb. Решая для k, мы имеем

и мы завершили доказательство.

Следующее доказательство теоремы Пифагора, которое будет представлено, начинается с прямоугольного треугольника. На следующем рисунке треугольник ABC является прямоугольным. Его прямой угол - это угол C.

Затем нарисуйте CD перпендикулярно AB, как показано на следующем рисунке.

Сравните треугольники 1 и 3:

Треугольник 1 (зеленый) - это прямоугольный треугольник, с которого мы начали до построения CD. Треугольник 3 (красный) - один из двух треугольников, образованных построением CD.


Рисунок 13
Треугольник 1. Треугольник 3.

Сравнивая эти два треугольника, мы видим, что

Сравните треугольники 1 и 2:

Треугольник 1 (зеленый) такой же, как и выше. Треугольник 2 (синий) - это другой треугольник, образованный путем построения CD. Его прямой угол - это угол D.


Диаграмма 14
Треугольник 1. Треугольник 2.

Сравнивая эти два треугольника, мы видим, что

Складывая уравнения 3 и 4, получаем:

Из рисунков 11 и 12 для CD имеем (p + q) = c. Путем подстановки получаем

Следующее доказательство теоремы Пифагора, которое будет представлено, это то, в котором будет использоваться трапеция.

По конструкции, которая использовалась для формирования этой трапеции, все 6 треугольников, содержащихся в этой трапеции, являются прямоугольными. Таким образом,

Площадь трапеции = сумма площадей 6 треугольников.

И, используя соответствующие формулы для площади, мы получаем:

Мы завершили доказательство теоремы Пифагора с использованием трапеции.


Следующее доказательство теоремы Пифагора, которое я представлю, можно преподать и доказать с помощью головоломок. Эти головоломки можно составить с использованием пифагорейской конфигурации, а затем разбить ее на различные формы.

Перед тем, как представить доказательство, важно изучить следующий рисунок, так как он имеет прямое отношение к доказательству.

В этой пифагорейской конфигурации квадрат гипотенузы разделен на 4 прямоугольных треугольника и 1 квадрат MNPQ в центре. Поскольку MN = AN - AM = a - b. Каждая сторона квадрата MNPQ имеет длину a - b. Это дает следующее:

Площадь квадрата на гипотенузе = сумма площадей четырех треугольников и площади квадрата MNPQ.

Как упоминалось выше, это доказательство теоремы Пифагора может быть дополнительно исследовано и доказано с помощью головоломок, составленных из конфигурации Пифагора. Учащиеся могут составить эти головоломки, а затем использовать кусочки квадратов на сторонах прямоугольного треугольника, чтобы покрыть квадрат гипотенузы. Это может быть отличной связью, потому что это «ручная работа». Затем студенты могут использовать головоломку, чтобы доказать теорему Пифагора самостоятельно.


Чтобы создать эту головоломку, дважды скопируйте квадрат на BC, один раз под квадратом на AC и один раз справа от квадрата на AC, как показано на рисунке 17.

Треугольник CDE конгруэнтен треугольнику ACB по участку-участку.

В треугольнике ACB m & ltACB = 90, а стороны имеют длины a, b, c.

В треугольнике CDE m & ltCDE = 90, а стороны имеют длины a, b, c.

Треугольник EGH конгруэнтен треугольнику ACB по ножке-ножке. M & ltEGH = 90 и его стороны имеют длины a и c. Поскольку EF = b-a = AI, EG = b. Таким образом, диагонали CE и EH равны c.


ПИФАГОРА, ИРРАЦИОННОЕ ЧИСЛО И ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Пифагор - греческий математик, в то же время античный философ VI века. Он очень влияет на науку, особенно на математику. Одно из его известных упущений - теорема Пифагора, которую почти люди когда-либо слышали. Теорема Пифагора гласит, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме квадрата второй стороны прямоугольного треугольника. Из-за своих упущений в математике он также называл себя & # 8220отцом числа & # 8221.

Один из учеников, так называемый Гиппас, сказал, что & # 87302, которое представляет собой гипотенузу равнобедренного треугольника, длина каждой ноги которого равна 1, является иррациональным числом. Однако затем Гиппас убил, потому что Пифагор не может опровергнуть доказательства, представленные Гиппасом.

Гиппас - ученик Пифагора из Метапонта. Он также математик и в то же время древнегреческий философ около 6 века. Он считается изобретателем иррационального числа, особенно доказывая, что квадратный корень из 2 & # 87302 является иррациональным числом. По иронии судьбы, именно изобретение стало причиной смерти. Пифагор доказывает существование иррационального числа. Пифагор и другие ученики предполагали, что все числа являются рациональными числами и что иррациональных чисел не существует. Гиппас докажет эту теорему, используя reductio ad absurdum (доказать от противного), доказывая, что это иррациональное число. Пифагор не может оспорить это утверждение и предположить, что Гиппас является заблудшим последователем учения, поэтому он решил поглотить Гиппаса.

Иррациональное число - это действительное число, которое нельзя разделить (результат для него никогда не прекращался). В этом случае иррациональное число не может быть выражено как a / b, где a и b являются целыми числами, а b в отличие от null. Итак, иррациональное число не является рациональным числом. Пример для иррационального числа, такого как π, & # 87302 и число e. Число Фи (π), которое мы распознали, на самом деле неточно 3,14, но 3,1415926535897932 & # 8230. Также число & # 87302, которое, если мы сформулируем его как 1,41421356237309504880 & # 8230, и число, которое будет 2,71828182 & # 8230.

Иррациональное число может быть доказано с помощью reductio ad absurdum или на английском языке это называется доказательством от противоречия. Это логический аргумент, начатый с предположения, затем из предположения получен абсурдный результат, нелогичный или противоречивый, поэтому вывод из предположения будет неверным и ценным, а отрицание станет правильным и ценным. Математическое утверждение иногда может быть доказано с помощью reductio ad absurdum, то есть путем допущения отрицания (отрицания) из утверждения, которое будет доказано, а затем из предположения, деградировавшего до противоречия. Когда противоречие достижимо логически, то предположение доказано, что ошибочность, так что утверждение является правильным.

Доказательство противоречия или reductio ad absurdum не является неправильным аргументом, но, если оно сделано верно, будет верным аргументом. Если доказательство от противоречия приводит к ошибке, ошибка заключается в процессе деградации противоречия, а не в самом доказательстве.

Классическим примером доказательства от противного в древнегреческую эпоху является доказательство того, что квадратный корень из двух является иррациональным числом (не может быть выражено как сравнение целого числа). Это утверждение можно доказать, если предположить противное, что 2 - рациональное число, так что это можно выразить как сравнение целого числа a / b в простейшей дроби. Но если a / b = & # 87302, значит, a2 = 2b2, это означает, что a2 - четное число. Поскольку квадрат нечетного числа не может быть четным, тогда a - четное число. Поскольку a / b является простейшей дробью, b определенно является аномальным (поскольку дробь четного / четного числа все еще может быть умеренной). Но поскольку a - четное число (предположим, 2r = a, среднее a2 = 4r2) - кратное число 4, а b2 - кратное число 2 (четное). Это среднее b также является четным числом, и это противоречит заключению перед всем этим b, безусловно, аномальным. Поскольку раннее предположение, что 2 является рациональным числом, приводит к противоречию, предположение заведомо неверное, а отрицание (что 2 иррационально) является правильным утверждением.

Одно из очень популярных упущений Пифагора - это теорема Пифагора. Теорема называлась древнегреческим математиком и философом Пифагором. Пифагор не является изобретателем теоремы, но он первый человек, доказавший истинность теоремы, поэтому он дал высокую оценку и дал название теореме, как его имя.

Эта теорема выражает, что сложение широких квадратов в ногах прямоугольных треугольников равно примерно квадратам в гипотенусах. Прямоугольный треугольник - это треугольник, имеющий прямой угол (90o0), ступни - это две стороны, которые скошены угловыми формами, а гипотенуза - это третья сторона, имеющая отношение к прямому углу. Формула этой теоремы: a2 + b2 = c2, где a и b - стороны прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза.


Полезное приложение: попробуйте любую форму

На нашей диаграмме мы использовали треугольники, простейшую двумерную фигуру. Но отрезок линии может принадлежать любой форма. Возьмем, к примеру, круги:

Что происходит, когда мы складываем их вместе?

Вы угадали: Круг радиуса 5 = Круг радиуса 4 + Круг радиуса 3.

Довольно дико, а? Мы можем умножить теорему Пифагора на наш коэффициент площади (в данном случае пи) и найти соотношение для любой формы.

Помните, что отрезок линии может быть любая часть формы. Мы могли бы выбрать радиус, диаметр или длину окружности - коэффициент площади был бы другим, но соотношение 3-4-5 по-прежнему сохранялось.

Итак, складываете ли вы пиццу или маски Ричарда Никсона, теорема Пифагора помогает связать области любых похожих форм. Вот чему вас не учили в начальной школе.


Теорема Пифагора делает возможным построение и GPS

Хорошо, время для популярной викторины. У вас есть прямоугольный треугольник, то есть тот, в котором две стороны сходятся, образуя угол в 90 градусов. Вы знаете длину этих двух сторон. Как определить длину оставшейся стороны?

Это легко, при условии, что вы изучали геометрию в средней школе и знали теорему Пифагора, математическое утверждение, которому тысячи лет.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух сторон, образующих прямой угол, равна квадрату третьей, более длинной стороны, которая называется гипотенузой. В результате вы можете определить длину гипотенузы по уравнению а 2 + b 2 = c 2 , в котором а а также б представляют собой две стороны прямого угла и c это длинная сторона.

Кем был Пифагор?

Довольно ловкий трюк, а? Но человек, в честь которого назван этот математический трюк, почти не менее очарователен. Пифагор, древнегреческий мыслитель, родившийся на острове Самос и живший с 570 по 490 год до н. Э., Был своего рода странным персонажем - в равной степени философ, математик и лидер мистического культа. При жизни Пифагор не был известен как решающий вопрос длины гипотенузы, так как он был известен своей верой в реинкарнацию и приверженностью аскетическому образу жизни, который подчеркивал строгую вегетарианскую диету, соблюдение религиозных ритуалов и большую самодисциплину. этому он учил своих последователей.

Биограф Пифагора Кристоф Ридвег описывает его как высокую, красивую и харизматичную фигуру, чью ауру усиливала его эксцентричная одежда - белый халат, брюки и золотой венок на голове. Вокруг него ходили странные слухи - что он мог творить чудеса, что у него была золотая искусственная нога, скрытая под одеждой, и что он обладал способностью находиться в двух местах одновременно.

Пифагор основал школу недалеко от нынешнего портового города Кротоне на юге Италии, получившего название Полукруг Пифагора. Последователи, поклявшиеся соблюдать кодекс секретности, научились рассматривать числа подобно еврейскому мистицизму Кабаллы. В философии Пифагора каждое число имело божественное значение, и их комбинация открывала большую истину.

С такой гиперболической репутацией неудивительно, что Пифагору приписывают разработку одной из самых известных теорем всех времен, хотя на самом деле он не был первым, кто придумал эту концепцию. Китайские и вавилонские математики опередили его на тысячелетие.

«У нас есть свидетельства того, что они знали пифагорейские отношения на конкретных примерах», - пишет в электронном письме Г. Дональд Аллен, профессор математики и директор Центра технологического обучения математике Техасского университета A&M. «Была найдена целая вавилонская табличка, на которой показаны различные тройки чисел, отвечающие условию: а 2 + b 2 = c 2 . & quot

Чем полезна теорема Пифагора сегодня?

Теорема Пифагора - это не просто увлекательное математическое упражнение. Он используется в широком спектре областей, от строительства и производства до навигации.

Как объясняет Аллен, одно из классических применений теоремы Пифагора - закладывать фундамент зданий. «Понимаете, чтобы сделать прямоугольный фундамент, скажем, храма, нужно сделать прямые углы. Но как это сделать? Глядя на это? Это не сработает для большой конструкции. Но когда у вас есть длина и ширина, вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы получить точный прямой угол с любой точностью ».

Помимо этого, «Эта теорема и те, что связаны с ней, дали нам всю нашу систему измерения», - говорит Аллен. «Это позволяет пилотам ориентироваться в ветреном небе, а кораблям - задавать курс. Все измерения GPS возможны благодаря этой теореме ».

В навигации теорема Пифагора предоставляет корабельному навигатору способ вычисления расстояния до точки в океане, которая, скажем, находится в 300 милях к северу и 400 милях к западу (480 км к северу и 640 км к западу). Он также полезен картографам, которые используют его для расчета крутизны холмов и гор.

«Эта теорема важна для всей геометрии, включая твердотельную геометрию, - продолжает Аллен. «Это также основа для других разделов математики, большей части физики, геологии, всей механики и авиационной техники. Плотники используют это, и машинисты тоже. Когда у вас есть углы и вам нужны измерения, вам нужна эта теорема ».

Одним из формирующих событий в жизни Альберта Эйнштейна было написание собственного математического доказательства теоремы Пифагора в возрасте 12 лет. Увлечение Эйнштейна геометрией в конечном итоге сыграло роль в развитии им специальной и общей теорий относительности.


Смотреть видео: Lectia 918 - Teorema lui Pitagora directa si reciproca Trapez dreptunghic - Test Geometrie Clasa 7 (June 2022).


Комментарии:

  1. Kade

    Короче, посмотрите, вы не пожелаете! Качественная какашка, но вы можете посмотреть!

  2. Verel

    Я поздравляю, вас посетили просто отличная мысль

  3. Vaughan

    Быстро ответил :)



Напишите сообщение